Modus PonensにModus Tollensで応戦

久しぶりに硬い話。哲学界でよく知られたアフォリズム(F.Dretske (1995), Naturalizing the Mind, 由来のようだ）
”One Man’s Modus Ponens is Another Man’s Modus Tollens”

There’s an aphorism in philosophical circles that goes “One man’s modus ponens is another man’s modus tollens.”
The idea is that two people can agree on a conditional statement `If p then q‘, but use it to make different inferences.
Someone who endorses p will conclude that q (that’s modus ponens). Someone who denies q will deny p (that’s modus tollens).
This double aspect of the conditional shows up in the fact that, in classical logic, ‘p → q‘ is equivalent to ‘~q → ~p‘.
（http://contraposition.org/blog/about/）

Modus Ponens（モーダスポネンス）とModus Tollens（モーダストレンス）は、以下の型の推論規則である。2つの前提と一つの結論から成る。

Modus Ponens
ｐ → ｑ
ｐ
従って、ｑ

Modus Tollens
ｐ → ｑ
〜ｑ
従って、〜ｐ
（〜：否定記号）

これらは妥当な（つまり、どのような場合でも前提の正しさを結論に保存する）推論規則である。

次の（X),（Y)は、それぞれ、Modus PonensとModus Tollensの例である。

（X)
(1) If there is an objective morality, then God exists.
(2) There is an objective morality.
(3) Therefore, God exists.

（Y)
(1) If there is an objective morality, then God exists.
(2′) God doesn’t exist.
(3′) Therefore, there is no objective morality.

AとB、二人いたとする。二人とも
(1) If there is an objective morality, then God exists.
という条件文に同意している。
神の存在を信じるAがmodus ponensを使って「神は存在する」と結論した（X)。
これに対し、神など存在しないと考えるBは、modus tollensを使って、Aの議論の前提である(2)「客観的道徳が存在する」を否定できる（Y)。
つまり、ある人がmodus ponensを使ってある事柄を主張してきたら、彼の論敵はmodus tollensで対抗、相手の主張を無力化できる。
これが"One Man’s Modus Ponens is Another Man’s Modus Tollens"

他の良く知られた例は次。

(ムーア）
(1)　もし手があれば、世界は存在する。
(2)　（さあ見なさい）手がある。
よって
(3)　世界は存在する。

Modus Ponensを使った（論理的には全くスキのない）議論である。
世界の存在を疑うSkepticはこれに対し、

(1)　もし手があれば、世界は存在する。
(2′) 　世界は存在しない。
よって
(3′)　手はない。

とmodus tollensを使って反撃する。
問題はあなたの前提（２）手があるかどうかなのだ、と反論しているわけである。

歴史的には、これと逆向きの議論が行われた。次はWikipediaから。

G. E. Moore wrote A Defence of Common Sense and Proof of an External World. He posed skeptical hypotheses, such as "you may be dreaming" or "the world is 5 minutes old", creating a situation where it is not possible to know that anything in the world exists. These hypotheses take the following form:

The skeptical argument

Where S is a subject, sp is a skeptical possibility, such as the brain in a vat hypothesis, and q is a knowledge claim about the world:

• If S doesn't know that not-sp, then S doesn't know that q
• S doesn't know that not-sp
• Therefore, S doesn't know that q

Moore's response

• If S doesn't know that not-sp, then S doesn't know that q
• S knows that q
• Therefore, S knows that not-sp

Moore does not attack the skeptical premise; instead, he reverses the argument from being in the form of modus ponens to modus tollens.

This logical maneuver is often called a G. E. Moore shift or a Moorean shift.

互いに同じ論法で応酬できることになる。